Александр Владимирович окончил Кустанайский строительный техникум в 1985 году по специальности «промышленное и гражданское строительство» (квалификация — техник-строитель), работал плотником Диевского совхоза Кустанайской области.
С 1985 по 1987 годы служил в Вооруженных Силах СССР, с 1987 по 1991 годы обучался в Новосибирском институте народного хозяйства.
С 1991 по 2009 годы Александр Гриб занимал различные должности на предприятиях города. С 2009 по 2014 годы работал заместителем генерального директора по социальным вопросам ОАО «Новосибирский металлургический завод им. Кузьмина». В 2014 году Александр Владимирович стал советником по общим вопросам при руководстве, заместителем начальника управления специальной связи по НСО — филиала ФГУП «Главный центр специальной связи».
С 2015 года Александр Гриб — первый заместитель главы администрации Ленинского района города Новосибирска, 18 сентября 2019 года назначен на должность главы администрации Ленинского района.